Индивидуальные студенческие работы


Методы решения линейных уравнений курсовая работа

Прямые методы решения систем линейных уравнений Введение алгебраический уравнение линейный решение Решение систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ имеет большое значение в практике вычислений. Это объясняется тем, что линейное приближение многих математических моделей реальных объектов приводит к системам линейных алгебраических уравнений.

Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Задачи решения таких систем методы решения линейных уравнений курсовая работа при обработке экспериментальных данных, приближенном решении линейных интегральных и дифференциальных уравнений и в других областях. Практические способы решения зависят от структуры исходных данных, порядка матрицы коэффициентов, а также типа используемых вычислительных средств. В настоящее время большое внимание уделяется пересмотру методов численного анализа и созданию новых алгоритмов, позволяющих наиболее эффективно использовать параллельные вычисления.

В значительной мере это связано с развитием параллельных вычислительных систем с большим числом одновременно работающих процессоров [1]. При формальном подходе решение систем уравнений не встречает затруднений. Однако, этот метод практически непригоден при больших значениях n из-за чрезмерного объема вычислений. Общее число операций для формирования обратной матрицы равно n2 n!

Методы решения алгебраических задач разделяют на прямые итерационные.

Решение системы линейных уравнений

Классы задач, для решения которых обычно применяют методы этих групп, можно соответственно назвать классами задач с малым и большим числом неизвестных.

Изменение объема и структуры памяти компьютеров, увеличение их быстродействия и развитие численных методов приводят к смещению границ применения методов в сторону систем более высоких порядков. В настоящее время прямые методы обычно применяются длярешения систем до порядка 104, итерационные - до порядка 107. При решении системы методом Крамера важным является применение рациональных методов вычисления определителя.

В общем случае нахождение методы решения линейных уравнений курсовая работа требует большого объема вычислений, но определитель треугольной матрицы вычисляется легко, он равен произведению диагональных элементов. Одним из методов, основанным на методы решения линейных уравнений курсовая работа матрицы системы к треугольному виду, является метод вращений.

Системы линейных уравнений

В данной работе описываются прямые методы решения линейных систем. Работа состоит из 2 глав и приложения. В первой главе рассматриваются прямые методы решения линейных систем, такие как: Во второй главе описан метод вращенийрешения линейных систем, который реализован в среде программирования Delphi.

В приложении находится данная работа в электронном виде. Целью настоящей работы является овладение численными методами решения линейных систем и реализация метода вращений в виде программы для BorlandDelphi. Для достижения цели решались следующие задачи: Реализация метода вращений средствами систем программирования Методы решения линейных уравнений курсовая работа.

Новизна и практическая значимость работы: Прямые методы решения систем линейных уравнений. Последовательно умножая первое уравнение на и складывая с i-м уравнение, исключим из всех уравнений кроме первого. Методы решения линейных уравнений курсовая работа систему где Аналогичным образом из полученной системы исключим.

Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Выполняя последовательные подстановки в последней системе, начиная с последнего уравнения можно получить все значения неизвестных. Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса.

Курсовая работа на тему: Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса

Метод Гаусса может быть легко реализован на компьютере. При выполнении вычислений, как правило, не интересуют промежуточные значения матрицы А. Для контроля ошибки реализации метода используются так называемые контрольные суммы. Схема контроля основывается на следующем очевидном положении. Увеличение значения всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки.

Создадим дополнительный столбец, хранящий сумму элементов матрицы по строкам. На каждом шаге методы решения линейных уравнений курсовая работа прямого хода метода Гаусса будем выполнять преобразования и над элементами этого столбца, и сравнивать их значение с суммой по строке преобразованной матрицы. В случае не совпадения значений счет прерывается. Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность.

Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности применяются различные модификации метода Гаусса.

  • Метод Крамера решения линейных систем;
  • Матричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений Пусть дана система линейных уравнений:

Например, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на методы решения линейных уравнений курсовая работа этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным.

При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей. Существует метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице. В этом случае переставляются не только строки, но и столбцы. Использование модификаций метода Гаусса приводит к усложнению алгоритма увеличению числа операций и соответственно к росту времени счета.

Поэтому целесообразность выбора того или иного метода определяется непосредственно программистом. Выполняемые в методе Гаусса преобразования прямого хода, приведшие матрицу А системы к треугольному виду позволяют вычислить определитель матрицы.

Метод Гаусса позволяет найти обратную матрицу. Для этого необходимо решить матричное уравнениеГде Е- единичная матрица. Его решение сводится к решению m систем у вектора j -я компонента равна единице, а остальные компоненты равны нулю.

VK
OK
MR
GP