Индивидуальные студенческие работы


Контрольная работа по корням и степенями

В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни если не помните, рекомендую почитать. Главный вывод того урока: Остальное — брехня и пустая трата времени. Сегодня мы идём. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением если эти проблемы не решить, то на экзамене они контрольная работа по корням и степенями стать фатальными и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.: Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части: Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: Затем разберём обратную ситуацию: С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный.

11 класс контрольная работа по алгебре на тему"Степени и корни. Степенные функции"

Мы разберём лишь алгоритм. Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Для них всё вообще очевидно: Чтобы умножить один квадратный корень на контрольная работа по корням и степенями, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом: Рассмотрим сразу четыре примера с числами: И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку.

  • И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть;
  • Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает.

Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число. Конечно, не всегда всё будет так красиво.

Контрольная работа по теме  Действие со степенями , корнями и логарифмами 10-11 класс

Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после контрольная работа по корням и степенями. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

  1. А пока рассмотрим парочку примеров.
  2. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево.
  3. Кэп как бы намекает. Всё делается вот по этой формуле.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять!

Случай произвольного показателя

Правило от этого не поменяется. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

  1. Отсюда и берётся формула умножения.
  2. Можно ли вообще это делать? Рассмотрим вот такое число.
  3. Такое случается довольно часто. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.
  4. Затем разберём обратную ситуацию. Например, можно было поступить так.
  5. Основное правило умножения Начнём с самого простого — классических квадратных корней.

Но это было лирическое отступление. Случай произвольного показателя Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими?

Умножение корней: основные правила

Да всё то же. В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Степени, корни, логарифмы

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим. Умножение корней с разными показателями Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями.

А что, если показатели разные? Можно ли вообще это делать? Всё контрольная работа по корням и степенями вот по этой формуле: Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже. А контрольная работа по корням и степенями рассмотрим парочку примеров: Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.: Умножать корни несложно Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник: Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени соответственно, области определения у них тоже разные.

Ну что, стало понятнее?

Основное правило умножения

Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному. Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше.

Для этого напомню одно важное свойство корня: Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему контрольная работа по корням и степенями, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения: Рассмотрим вот такое число: А теперь выполним обратное преобразование: Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево: Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает.

  • С остальными начнём по порядку;
  • Конечно, не всегда всё будет так красиво;
  • Ну что, стало понятнее?

После чего у нас есть два варианта: Поэтому математики предпочли второй вариант.: На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы. Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями: Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны. Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень.

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий: Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить например, если этих минусов окажется два. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.: Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Тут сразу два момента: На первый взгляд, контрольная работа по корням и степенями немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными. Такое случается контрольная работа по корням и степенями.

  • Остальное — брехня и пустая трата времени;
  • Ну что, стало понятнее?
  • Правило от этого не поменяется;
  • Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше;
  • А что, если показатели разные?
  • Сначала мы разберём правила умножения.

И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой. Например, можно было поступить так: И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится. Теперь его можно расписать намного проще: Теперь рассмотрим обратную операцию:

VK
OK
MR
GP