Индивидуальные студенческие работы


Контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам

Что касается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточно большое внимание. На примере иррационального уравнения показано как в три этапа осуществляется решение любого уравнения: Первый этап - технический ; Второй этап - анализ решения ; Третий этап - проверка. Также на примере иррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями.

Метод введения новой переменной также разобран и на примере решения иррационального уравнения. Отдельный пункт посвящен контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам неравенствам. Здесь контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам теоретическим обоснованием рассматривается решение неравенств вида.

В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств во втором - равносильной совокупностью систем неравенств Система задач изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. Все задачи в соответствии с ними разбиты на четыре блока, в каждом из которых встречаются иррациональные уравнения. Много заданий, в которых требуется решить "смешанное" уравнение или неравенство, то есть логарифмическое, показательное или тригонометрическое уравнение или неравенство, в которое входят иррациональные выражения.

Среди этих заданий есть задания как базового, так и повышенного уровня. В I части учебника много внимание уделено равносильности уравнений и неравенств, контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам строго рассмотрены общие методы решения уравнений, с оговоркой о потере корней и приобретении посторонних.

II часть учебника отличается обилием и разнообразием задач. Достаточно много задач на равносильность и следствие уравнений и неравенств. Звавич [ 5] Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики. В начале параграфа "Степень с рациональным показателем" помещен контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам материал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям и неравенствам.

Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как: При решении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенство системой или совокупностью систем рациональных неравенств.

В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида: Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. Данное учебное пособие представляет собой продолжение книги "Алгебра и начала анализа" для 10 класса и предназначено как для общеобразовательной контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам, так и классов и школ с углубленным изучением курса математики.

Иррациональные уравнения и неравенства изучаются в параграфе "Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства" VIII главы "Показательная, логарифмическая и степенные функции". Пункт "Иррациональные уравнения" начинается с определения иррационального уравнения и примеров таких уравнений. Далее сформулирована и доказана теорема о равносильных уравнениях, на которой основано решение иррациональных уравнений.

Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни. Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденные корни в данное уравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильном переходе от уравнений вида и к системам, состоящим из уравнения и неравенства.

Далее на примерах решения иррациональных уравнений демонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень "уединить радикал", то есть представить уравнение в виде.

Иррациональные неравенства

В следующем пункте "Иррациональные неравенства" сформулированы приемы решения иррациональных неравенств вида и с помощью равносильного перехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств - во втором.

Рассматривается решение иррационального неравенства вида с помощью равносильного перехода к неравенству. Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.

  1. В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств во втором - равносильной совокупностью систем неравенств Система задач изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. Заключительный урок 2 часа - обобщение либо в виде защиты проектов по одной теме, либо групповая защита проектов по всему курсу.
  2. Рациональным уравнением называется такое уравнение, у которого и левая, и правая части являются рациональными функциями. В учебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольно строгий.
  3. Вступительные испытания ЕГЭ- 2008.
  4. Лаборатория базовых знаний, 1999 3. Путешествие в историю математики, или как люди научились считать.

Все утверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений - метод "уединения радикала".

Иррациональные

Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы: В учебнике [1] материала по методам решения иррациональных уравнений. В учебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольно строгий. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебниках [2] и [10].

В каждом учебнике рассмотрены два основных способа решения: В учебниках [2] и контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам рассмотрены такие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод В учебниках [1] и [13] не рассмотрено решение иррациональных неравенств.

В учебнике [2] материал по решению иррациональных неравенств скудный, изложение не достаточно строгое.

Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы»

В учебниках [4] и [10] теория по способам решения иррациональных неравенств видарассмотрена подробно, изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решение иррационального неравенства вида. Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных уравнений и неравенств представлен в учебниках [11] и [5]. В учебнике [4] упражнений не много, но они разнообразны. Основные понятия, относящиеся к уравнениям Равенство вида1 где и - некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x с одной переменной x.

Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x. Число a называется корнем или решением уравнения 1если обе части уравнения 1 определены при и равенство является верным.

Следовательно, каждый корень уравнения 1 принадлежит множеству, которое является пересечением общей частью областей определения функций и называется областью допустимых значений ОДЗ уравнения 1. Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней. Если в условиях задачи не указано, на каком множестве нужно решить уравнение, то решение следует искать на ОДЗ этого уравнения.

В процессе решения часто приходится преобразовывать уравнение, заменяя его более простым с точки зрения нахождения корней. Есть одно правило, которое не следует забывать при преобразовании уравнений: Назовем преобразование уравнения 1 допустимымесли при этом преобразовании не происходит потери корней, то есть получается уравнение2 которое либо имеет те же корни, что и уравнение 1либо, кроме всех корней уравнения 1имеет хотя бы один корень, не являющийся корнем уравнения 1посторонний для уравнения 1 корень.

В связи с этим используют следующие понятия. Уравнение 2 называется следствием уравнения 1если каждый корень уравнения 1 является корнем уравнения 2. Уравнения 1 и контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам называются равносильными эквивалентнымиесли каждое из этих уравнений является следствием другого.

Иными словами, уравнения 1 и 2 равносильны, если каждый корень уравнения 1 является корнем уравнения 2 и наоборот, каждый корень уравнения 2 является корнем контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам 1. Уравнения, не имеющие корней, считаются равносильными. Если уравнения 1 и 2 равносильны, то пишут или 1 2а если уравнение 2 является следствием уравнения 1то пишут или 1 2.

Отметим, что контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам исходное уравнение с помощью допустимых преобразований заменено другим, причем в процессе преобразования хотя бы один раз уравнение заменялось неравносильным контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам следствием, то проверка найденных корней путем подстановки в исходное уравнение является обязательной.

Если же при каждом преобразовании уравнение заменялось равносильным, то проверка не нужна не следует путать проверку с контролем вычислений. Рассмотрим еще одно понятие, связанное с решением уравнений. Будем говорить, что уравнение 1 равносильно совокупности уравнений3 если выполнены следующие условия: Если указанные условия выполнены, то множество корней уравнения 1 является объединением множеств корней уравнений 3.

Если уравнение записано в виде4 то каждое решение этого уравнения является решением, по крайней мере, одного из уравнений 5 Однако нельзя утверждать, что любой корень каждого из уравнений 5 есть корень уравнения 4.

Например, еслито - корень уравненияно число 3 не является корнем уравнения 4так как функция не определена. Таким образом, в общем случае нельзя утверждать, что уравнение 4 равносильно совокупности уравнений 5. Чтобы решить уравнение 4достаточно найти корни уравнений иа затем отбросить контрольная работа по иррациональным уравнениям и неравенствам, которые не входят в ОДЗ уравнения 4то есть не принадлежат множеству, на котором определены функции.

В ОДЗ уравнения 4 это уравнение равносильно совокупности уравнений 5. Справедливо более общее утверждение: Неравносильные, то есть преобразования, после применения которых может произойти потеря или приобретение посторонних корней. Перенос членов уравнения из одной части в другуюто есть переход от уравнения 1.

VK
OK
MR
GP