Индивидуальные студенческие работы


Алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной

Определение и смысл производной функции Многие удивятся неожиданному расположению этой статьи в моём авторском курсе о производной функции одной переменной и её приложениях. Ведь как оно было ещё со школы: Далее учащиеся находят производные функций по определению, и, собственно, только потом оттачивается техника дифференцирования с помощью таблицы производных.

Но с моей точки зрения, более прагматичен следующий алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной Дело в том, что определение производной базируется на понятии предела, которое слабо рассмотрено в школьном курсе. Именно поэтому значительная часть молодых потребителей гранита знаний плохо вникают в саму суть производной.

Таким образом, если вы слабо ориентируетесь в дифференциальном исчислении либо мудрый мозг за долгие годы успешно избавился от оного багажа, пожалуйста, начните с пределов функций.

  1. Формулы нахождения производных для функций, заданных параметрически.
  2. Разложение на множители, упрощение выражений. Решение неравенств, систем уравнений и доказательство тождеств.
  3. Правило нахождения производной произведения функций. Берегите одежду на пятой точке.
  4. Производная синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса. Также обратим внимание на особые точки.

Тот же практический смысл подсказывает, что сначала выгодно научиться находить производныев том числе производные сложных функций. Теория теорией, а дифференцировать, как говорится, хочется.

В этой связи лучше проработать перечисленные базовые уроки, а может и стать алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной дифференцированиядаже не осознавая сущности своих действий. К материалам данной страницы рекомендую приступать после ознакомления со статьёй Простейшие задачи с производнойгде, в частности рассмотрена задача о касательной к графику функции.

Но можно и повременить. Поэтому, уважаемые чайники, не спешите поглощать суть производной, как голодные звери, ибо насыщение будет невкусным и неполным. Понятие возрастания, убывания, максимума, минимума функции Многие учебные пособия подводят к понятию производной с помощью каких-либо практических задач, и я тоже придумал интересный пример.

Представьте, что нам предстоит путешествие в город, до которого можно добраться разными путями. Сразу откинем кривые петляющие дорожки, и будем рассматривать только прямые магистрали. Однако прямолинейные направления тоже бывают разными: Или по холмистому шоссе — вверх-вниз, вверх-вниз. Другая дорога идёт только в гору, а ещё одна — всё время под уклон. Экстремалы выберут маршрут через ущелье с крутым обрывом и отвесным подъемом.

Но каковы бы ни были ваши предпочтения, желательно знать местность или, по меньшей мере, располагать её топографической картой. А если такая информация отсутствует? Ведь можно выбрать, например, ровный путь, алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной в результате наткнуться на горнолыжный спуск с весёлыми финнами. Не факт, что навигатор и даже спутниковый снимок дадут достоверные данные.

Алгебра. 11 класс

Поэтому неплохо бы формализовать рельеф пути средствами математики. Рассмотрим некоторую дорогу вид сбоку: На всякий случай напоминаю элементарный факт: Для простоты полагаем, что функция непрерывна на рассматриваемом участке.

Какие особенности у данного графика? На интервалах функция возрастает, то есть каждое следующее её значение больше предыдущего. Грубо алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной, график идёт снизу вверх забираемся на горку. А на интервале функция убывает — каждое следующее значение меньше предыдущего, и наш график идёт сверху вниз спускаемся по склону.

Также обратим внимание на особые точки. Алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной точке мы достигаем максимума, то есть существует такой участок пути, на котором значение будет самым большим высоким.

В точке же достигается минимум, и существует такая её окрестность, в которой значение самое маленькое низкое. Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функцииа пока изучим ещё одну важную особенность: И первое, что бросается в глаза — на интервале график взмывает вверх гораздо более круто, чем на интервале.

Нельзя ли измерить крутизну дороги с помощью математического инструментария? Скорость изменения функции Идея состоит в следующем: Величина называется приращением функции, и в данном случае это приращение положительно разность значений по оси — больше нуля.

Составим отношениекоторое и будет мерИлом крутизны нашей дороги.

Обобщающий урок по теме "Производная и ее геометрический смысл" в 11-м классе

Очевидно, что — это вполне конкретное число, и, поскольку оба приращения положительны. Разумеется, комментарий касается и алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной приращения функции. Исследуем природу полученной дроби содержательнее. Пусть изначально мы находимся на высоте 20 метров в левой чёрной точке.

Преодолев расстояние метров левая красная линиямы окажемся на высоте 60 метров. Тогда приращение функции составит метров зелёная линия и: Таким образом, на каждом метре этого участка дороги высота увеличивается в среднем на 4 метра …не забыли альпинистское снаряжение? Здесь подъём более пологий, поэтому приращение малиновая линия относительно невелико, и отношение по сравнению с предыдущим случаем будет весьма скромным.

Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет.

  • Также обратим внимание на особые точки;
  • И в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции;
  • Приращение и дифференциал функции;
  • Более строгую терминологию и определения рассмотрим на уроке об экстремумах функции , а пока изучим ещё одну важную особенность;
  • Условно говоря, метров и скорость роста функции составляет.

То есть, здесь на каждый метр пути приходится в среднем пол метра подъёма. Посмотрим на верхнюю чёрную точку, расположенную на оси ординат. Предположим, что это отметка 50 метров. Снова преодолеваем расстояниев результате чего оказываемся ниже — на уровне 30-ти метров. Алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной в данном случае речь уже идёт о скорости убывания функции: Берегите одежду на пятой точке.

Совершенно понятно, 10 метров — это весьма грубо. На них запросто уместится добрая дюжина кочек. Да что там кочки, внизу может быть глубокое ущелье, а через несколько метров — другая его сторона с дальнейшим отвесным подъёмом. Таким образом, при десятиметровом мы не получим вразумительной характеристики подобных участков пути посредством отношения. Из проведённого рассуждения следует вывод — чем меньше значениетем точнее мы опишем рельеф дороги.

Более того, справедливы следующие факты: А во-вторых, алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной другие любопытные ситуации, примеры которых вы видите на рисунке. Представьте, что судьба завела нас на самую вершину холма с парящими орлами или дно оврага с квакающими лягушками.

Если сделать небольшой шажок в любую сторону, то изменение высоты будет ничтожно мало, и можно сказать, что скорость изменения функции фактически нулевая.

В точках наблюдается именно такая картина. Таким образом, мы подобрались к удивительной возможности идеально точно охарактеризовать скорость изменения функции. Ведь математический анализ позволяет устремить приращение аргумента к нулю: По итогу возникает ещё один закономерный вопрос: Геометрический смысл производной и дифференциала Пожалуйста, прочитайте вдумчиво и не слишком быстро — материал прост и доступен каждому!

Ничего страшного, если местами что-то покажется не очень понятным, к статье всегда можно вернуться позже. Производная алгебра контрольная работа производная геометрический смысл производной в точке синий графиккоторая определена и непрерывна на некотором интервале, произвольную точкупринадлежащую данному интервалу, и соответствующее значение:

VK
OK
MR
GP